برای حل این دستگاه معادلات، مراحل زیر را انجام میدهیم.
### معادله اول:
\[
-5x = \begin{bmatrix} -10 \\ 15 \end{bmatrix}
\]
برای پیدا کردن \( x \)، هر عنصر دو طرف را بر \(-5\) تقسیم میکنیم:
\[
x = \begin{bmatrix} \frac{-10}{-5} \\ \frac{15}{-5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}
\]
### معادله دوم:
\[
\vec{r} x + \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 \\ 17 \end{bmatrix}
\]
جای \( x \) را که در معادله اول بدست آوردیم (\( x = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} \)) در نظر میگیریم:
\[
\vec{r} \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 \\ 17 \end{bmatrix}
\]
ابتدا \(\vec{r}\) را در بردار \(x\) ضرب میکنیم:
\[
\vec{r} \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\vec{r}_1 - 3\vec{r}_2 \\ 2\vec{r}_3 - 3\vec{r}_4 \end{bmatrix}
\]
اکنون معادله را دوباره مینویسیم:
\[
\begin{bmatrix} 2\vec{r}_1 - 3\vec{r}_2 - 2 \\ 2\vec{r}_3 - 3\vec{r}_4 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 \\ 17 \end{bmatrix}
\]
برای حل این معادلات دو مجهولی، هر جزء بردار را جداگانه مساوی قرار میدهیم:
1. \(2\vec{r}_1 - 3\vec{r}_2 - 2 = -10\)
2. \(2\vec{r}_3 - 3\vec{r}_4 + 5 = 17\)
برای هر کدام از معادلات عددی معادله را حل کنید تا مقدار \(\vec{r}_1، \vec{r}_2، \vec{r}_3، \vec{r}_4\) پیدا شود.
نتیجه نهایی بردارها را قرار داده و مقدار نهایی بردار \(\vec{r}\) را بیابید.
### معادله سوم:
\[
2\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{x} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
جای \( x \) را که یافتیم، قرار میدهیم:
\[
2\vec{i} - \vec{j} + 2\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
محاسبه:
\[
2\vec{i} - \vec{j} + \begin{bmatrix} 4 \\ -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
با جدا کردن عناصر:
1. \(2\vec{i} + 4 = 6\)
2. \(-\vec{j} - 6 = 0\)
از این دو، \(\vec{i}\) و \(\vec{j}\) را بیابید و نتیجه را قرار دهید.
